本文将从 极限与导数 的本质 、 极限与导数的原理 、 极限与导数的 应用 三个方面， 带 您一文搞懂人工智能数学基础-
极限与导数 。
一、 极限与导数 的 本质
极限的本质： 无限靠近而永远不能到达。
极限的本质
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- 极限的定义：
极限的定义
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- 极限的性质：
- 唯一性： 如果数列或函数在某点的极限存在，那么该极限是唯一的。
- 有界性： 收敛数列必定有界。
- 保号性： 如果数列或函数的极限大于（或小于）0，那么当项数或自变量足够接近极限点时，数列的项或函数的值也大于（或小于）0。
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- 极限的应用：
- 梯度下降算法： 通过不断迭代更新模型参数，使损失函数达到最小值。这一过程中，损失函数的值随着迭代次数的增加逐渐趋近于一个极限值。
- 神经网络收敛性分析： 通过分析神经网络的收敛性，可以判断训练过程是否能够达到预期的效果。收敛性分析中，极限理论起到了关键作用。
- 概率论与统计学习理论： 大数定律和中心极限定理是概率论中的基本定理，它们描述了随机变量序列的极限性质。
导数的本质 ： 反映了函数在某一点附近的局部性质，特别是函数图像的切线斜率和函数值的变化趋势。
导数的本质
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- 导数的定义：
导数的定义
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- 常用函数求导：
常用函数求导
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- 导数的运算法则：
导数的运算法则
二、
极限与导数
的原理
微积分的基础： 极限和导数是微积分的基础，其中极限描述了函数或数列在特定条件下的变化趋势，而导数表示函数在某一点的变化率。
微积分
一、极限与连续
- 极限：极限是微积分的基本概念，描述了函数或数列在特定条件下的变化趋势。它包括数列极限和函数极限，两者都基于邻近点的行为来预测某一点的值或性质。
- 连续：连续性是函数的一个重要属性，意味着函数在某一点附近的行为是平滑且不间断的。一个函数在某点连续，当且仅当该点的极限值等于函数在该点的值。
二、导数与微分
- 导数：导数是微积分中的核心概念，表示函数在某一点的变化率。几何上，导数对应于函数图像在某点的切线斜率。导数可以用来研究函数的增减性、极值、凹凸性等。
- 微分：微分是导数的另一个角度，表示函数值的小变化量。具体来说，微分是函数在某一点附近的线性逼近，提供了对函数局部行为的一种量化描述。
连续求导 ： 逐层深入剖析函数特性，判定极值点与单调区间， 并为微分方程和实际问题提供解决方案。
连续且可导
- 深层次函数性质分析
- 连续求导逐步揭示函数更深层的性质。
- 一阶导数反映变化率和切线斜率；二阶导数揭示凹凸性和拐点。
- 极值与单调性判断
- 一阶导数决定函数单调性；零点可能是极值点。
- 二阶导数在极值点处的符号确定凹凸性，辅助判断极大值或极小值。
- 微分方程与实际问题解决
- 连续求导帮助将实际问题转化为微分方程。
- 提供从实际问题中提取信息、建立并求解数学模型的有效手段。
三、
极限与导数
的 应用
激活函数Sigmoid ： Sigmoid函数是一种常用的非线性函数，可以将任何实数映射到0到1之间。它通常用于将不归一化的预测值转换为概率分布。
一、函数公式
Sigmoid函数公式
二、函数图像
Sigmoid函数图像
三、求导过程
Sigmoid函数求导过程
激活函数Tanh ： Tanh函数是Sigmoid函数的双曲版本，它将任何实数映射到-1到1之间。
一、函数公式
Tanh函数公式
二、函数图像
Tanh函数图像
三、求导过程
Tanh函数求导过程