前言
灰色预测模型（Grey Prediction Model）是一种用于处理具有不完整信息、不确定性的系统建模和预测的方法。该模型通过分析序列数据的发展规律，对未来的趋势进行预测。
GM(1,1)模型的数学实现：
以GM(1,1)模型为例，给定一个原始序列 ,GM(1,1)模型的数学实现包括以下步骤：
- 累加生成序列 , ,..., :
- 近邻均值生成序列 , ,..., :
- 建立GM(1,1)模型：
假设GM(1,1)模型的微分方程为 ：
求解微分方程得到：
其中 ， 为时间变量
模型预测则是在 的基础上，进行 个时间单位的预测，预测公式为：
其中， 为第 个预测值 4. 模型检验：
计算后验差比 ：
其中 表示残差（模型拟合值与实际观测值的差异）的方差， 表示原始序列的方差
如果 ,则认为模型精度等级为好
如果 ,则认为模型精度等级为合格
如果 ,则认为模型精度等级为勉强
如果 ,则认为模型精确度等级不合格
后验差比主要用于检验模型的精确性，以确保模型对实际数据的拟合程度符合预期
在灰色预测模型 GM(1,1) 中，有两个关键的参数：发展系数
和灰色作用量
- 发展系数 :
发展系数是描述原始序列 在累加生成序列 中的发展趋势的参数
反映了原始序列的发展速度。它越大，表示序列的发展越快；越小，表示序列的发展越慢
在 GM(1,1) 模型中， 是通过对差分方程进行求解得到的
- 灰色作用量 :
灰色作用量表示原始序列 的发展中受到的影响或作用
它是在 GM(1,1) 模型中用于调整序列的参数，以更好地拟合实际情况
的值的大小会影响灰色模型的拟合效果，通常通过最小二乘法等方式估计
这两个参数的确定是建立 GM(1,1) 模型的关键步骤，而模型的建立和预测过程就是基于这两个参数进行的。在 GM(1,1) 模型中，发展系数 描述了序列的发展趋势，而灰色作用量 调整了模型，使其更好地适应实际数据。
代码实现
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = 'SimHei' # 设置中文显示
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
data = pd.read_excel('数据.xlsx', index_col = 0)
data.head()
数据为1994年到2015年国内社会消费品零售总额
plt.figure(figsize=(10,5), dpi =300)
plt.grid(True)
plt.plot(data['社会消费品零售总额'])
plt.title('社会消费品零售总额')
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('社会消费品零售总额')
plt.show()
fy = []
def GM11 (x,n):
'灰色预测 x:序列，numpy对象 n:需要往后预测对象'
x1 = x.cumsum() #累加
z1 = (x1[:len(x1)-1]+x1[1:])/2 #紧邻均值
z1 = z1.reshape((len(z1),1))
B = np.append(-z1,np.ones_like(z1),axis =1)
Y = x[1:].reshape(len(x)-1,1)
#a发展系数 b灰色作用量
[[a], [b]] = np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(B.T,B)),B.T),Y) #计算待估参数
result = (x[0]-b/a)*np.exp(-a*(n-1))-(x[0]-b/a)*np.exp(-a*(n-2)) # 预测方程
S1_2 = x.var() # 原序列方差
e = list() # 残差序列
for index in range(1, x.shape[0]+1):
predict = (x[0]-b/a)*np.exp(-a*(index-1))-(x[0]-b/a)*np.exp(-a*(index-2))
e.append(x[index-1]-predict)
print(predict) # 预测值
fy.append(predict)
print('后验差检验')
S2_2 = np.array(e).var() #残差方差
C = S2_2/S1_2 # 后验差比
if C<=0.35:
assess = '后验差比<=0.35,模型精度等级为好'
elif C<=0.5:
assess = '0.35<后验差比<=0.5,模型精度等级为合格'
elif C<=0.65:
assess = '0.5<后验差比<=0.65,模型精度等级为勉强'
else:
assess = '后验差比>0.65, 模型精度等级为不合格'
# 预测数据
predict = list()
for index in range(x.shape[0]+1, x.shape[0]+n+1):
predict.append((x[0]-b/a)*np.exp(-a*(index-1))-(x[0]-b/a)*np.exp(-a*(index-2)))
predict = np.array(predict)
return{
'a':{'value':a,'desc':'发展系数'},
'b':{'value':b,'desc':'灰色作用量'},
'predict':{'value':result,'desc':'第%d个预测值'%n},
'C':{'value':C,'desc':assess},
'predict':{'value':predict,'desc':'往后预测%d个的序列'%(n)},
}
实现灰色预测模型的函数，用于对给定的时间序列数据进行预测。主要步骤包括累加处理、计算紧邻均值、建立灰色预测模型等。函数输出包括发展系数 、灰色作用量 、第 个预测值、后验差比 以及往后预测 个序列的预测结果。后验差比用于评估模型精度，根据其值的不同，模型精度被分为好、合格、勉强和不合格四个等级。最终，预测结果以字典形式返回，包括以上提到的各项指标
GM11(data['社会消费品零售总额'].values,2)
plt.figure(figsize=(10,5), dpi =300)
plt.grid(True)
plt.plot(data['社会消费品零售总额'],label = '原始数据')
plt.plot(range(1994,2018),fy+[9605.83337569, 11027.20213579],label = '预测数据')
plt.title('社会消费品零售总额')
plt.xlabel('时间')
plt.ylabel('社会消费品零售总额')
plt.legend()
plt.show()
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