人工智能数学基础 - 线性代数之向量篇

本文将从向量的哲学三问： 向量是什么？向量从哪来？ 向量用到哪里去？ 带 您一文搞懂人工智能数学基础-线性代数之 向量。

向量的哲学三问

一、向量是什么？

向量定义 ： 向量是一组有序的数字（标量），用于在多维空间中表示数据点或特征。这些数字构成了一个列表或数组，其中每个元素对应于一个特定的维度。

向量定义

向量正逐步崭露头角，有望成为AI时代的数据交换标准，类似于互联网时代广泛使用的JSON（JavaScript Object Notation）。

• 数据表示：在AI中，各种类型的数据（如文本、图像、声音）经常被转换为向量形式，以便进行处理和分析。
• 特征提取：向量中的每个元素可以代表数据的一个特征，如图像的像素强度或文本的语义属性。
• 模型参数：在机器学习中，模型的参数（如权重和偏差）通常以向量的形式表示，并通过优化算法进行训练。
• 有序性：向量中的元素是有序排列的，每个位置对应一个特定的维度。
• 可运算性：向量支持各种数学运算，如加法、减法、点积等，这些运算在AI算法中广泛应用。
• 维度：向量的维度（即元素的数量）可以根据任务和数据类型的不同而变化，可以是二维、三维或更高维度。

向量是Encoder-Decoder的桥梁： 将现实问题转化为数学问题，通过求解数学问题来得到现实世界的解决方案。

Encoder-Decoder（编码器-解码器）

• Encoder （编码器）：“将现实问题转化为数学问题”

Encoder编码器

• Decoder （解码器）：“求解数学问题，并转化为现实世界的解决方案”

Decoder解码器

二、 向量从哪来？

向量转换过程 ： 非结构化数据转换成向量的过程称为 Embedding（嵌入）。通过深度学习的训练，可以将真实世界数字化后的离散特征提取出来，投影到数学空间上，成为一个数学意义上的向量，同时很神奇的保留着通过向量之间的距离表示语义相似度的能力。

非结构化数据转成向量的过程（Embedding）

Embedding 的过程：

1. 数据准备：首先，需要收集和处理非结构化数据，如文本、图像或声音。对于文本数据，可能需要进行分词、去除停用词等预处理步骤。
2. 模型选择：选择一个适合任务的神经网络模型，如Word2Vec、BERT（对于文本），或卷积神经网络（对于图像）。
3. 训练过程：通过大量数据训练神经网络模型。在训练过程中，模型学习将输入的非结构化数据映射到低维向量空间，同时优化损失函数以保留数据间的相似性。
4. 向量提取：训练完成后，模型可以将任何输入的非结构化数据转换为向量。这些向量捕捉了数据的语义信息，使得相似的输入具有相近的向量表示。

向量检索： 向量相关的工程技术里最核心的当然是向量检索算法，即如何在海量向量里找到跟目标向量最相似的 K 个，又叫 topK。

向量检索算法

1. 暴力检索（Brute-force Search）

• 算法描述：暴力检索是一种最直观的向量检索方法。对于给定的查询向量，它会计算该向量与数据库中所有向量的相似度，然后返回相似度最高的K个向量作为结果。
• 优点：简单易懂，易于实现。
• 缺点：当数据库向量数量非常大时，计算量大，检索速度慢。

2. 基于树的检索算法（Tree-based Search Algorithms）

2.1 KD树（KD-tree）

• 算法描述：KD树是一种分割k维数据空间的数据结构，常用于多维空间中的点搜索。在向量检索中，KD树可用于快速查找与查询向量相近的向量。
• 优点：对于低维数据，检索效率高。
• 缺点：对于高维数据，由于“维数灾难”，性能可能会急剧下降

2.2 球树（Ball-tree）

• 算法描述：球树是另一种基于树结构的向量检索算法，它使用超球体来划分数据空间，而不是像KD树那样使用超平面。
• 优点：对于高维数据，球树通常比KD树更有效。
• 缺点：构建和维护球树可能比KD树更复杂。

3. 最近邻搜索算法（Nearest Neighbor Search Algorithms）

3.1 ANN（Approximate Nearest Neighbor）

• 算法描述：ANN算法是一类近似最近邻搜索算法的统称，它们的目标是在牺牲一定精度的情况下，显著提高检索速度。常见的ANN算法有FLANN、FAISS等。
• 优点：检索速度快，适用于大规模数据集。
• 缺点：结果是近似的，可能不是绝对的最近邻。

三、向量用到哪里去？

向量数据库： 一个典型的基于向量数据库的应用框图可以表示如下：

基于向量数据库的应用框图

步骤一：生成向量嵌入

• 使用嵌入模型（如深度学习）将原始数据（文本、图像等）转换为多维向量。
• 这些向量捕捉数据的语义特征，使相似数据在向量空间中相互靠近。

步骤二：存储与索引

• 将生成的向量嵌入存储在专门的向量数据库中。
• 数据库为高效检索建立索引，并保留对原始数据的引用。

步骤三：查询与相似性匹配

• 当有新查询时，使用相同的嵌入模型将其转换为向量。
• 在数据库中搜索与查询向量最相似的向量嵌入。
• 返回相似向量对应的原始数据作为查询结果。

提示词工程： 大模型应用离不开提示词工程。提示词工程怎么做呢？主要就是为大模型整理一个资料库，然后在访问流程上，先从海量资料库里找到最匹配的内容，拼接提示词来增强回答，本质上就是一个搜索引擎。

提示词工程

LangChain+ Embedding+ 向量数据库构建提示词工程是指结合LangChain+（一个假设的或特定的NLP框架/工具）的文本处理能力和Embedding技术（将文本或其他数据转换为向量的方法），以及向量数据库的高效存储和检索能力，来构建和优化基于提示词的AI系统。构建此类工程时可能涉及的关键步骤和组件如下：

1. LangChain+ 文本处理

• 文本理解：利用LangChain+的NLP功能来理解和分析输入文本，提取关键信息和上下文。
• 文本生成：根据用户输入或系统需求，生成自然、相关且有用的文本响应。

2. Embedding 技术

• 词嵌入：将文本中的单词或短语转换为高维空间的向量表示，捕捉语义和语法关系。
• 句子嵌入：将整个句子或段落转换为向量，用于更高级别的文本比较和检索。
• 预训练模型：利用预先在大规模语料库上训练的模型（如BERT、GPT等）来获取高质量的嵌入向量。

3. 提示词工程设计

• 提示词定义：明确提示词在系统中的作用，例如引导文本生成、触发特定功能等。
• 模板设计：创建可复用的提示词模板，以适应不同的应用场景和用户输入。
• 动态生成：根据实时上下文和用户反馈，动态生成和调整提示词。

4. 向量数据库构建与管理

• 数据库选择：选择合适的向量数据库系统，以支持高效存储和快速检索大量嵌入向量。
• 数据索引：为嵌入向量创建索引，以加速查询和匹配过程。
• 性能优化：通过调整数据库参数、使用近似查询算法等方式优化系统性能。

5. 系统集成与测试

• 组件集成：将LangChain+、Embedding技术和向量数据库无缝集成到一个统一的系统中。
• 功能测试：验证系统的各项功能是否按预期工作，包括文本处理、嵌入生成、提示词生成和数据库操作等。
• 性能测试：评估系统在不同负载和数据规模下的性能表现，确保满足生产环境的要求。