线性代数（向量空间）
向量空间 ： 向量空间，又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。
向量空间定义为带有加法和标量乘法的集合V。具体来说，向量空间中的元素称为向量，这些向量之间定义了加法和标量乘法两种运算，并满足一系列公理。
线性代数（向量空间）
向量空间的公理详细列出如下：
- 加法封闭性：向量空间中的任意两个向量相加的结果仍然属于该向量空间。
符号表示：对于任意u, v ∈ V，u + v ∈ V。
- 加法结合律：向量空间中的任意三个向量u、v和w的和满足结合律。
数学表达式：(u + v) + w = u + (v + w)。
- 加法交换律：向量空间中的任意两个向量u和v相加的结果与v和u相加的结果相等。
数学表达式：u + v = v + u。
- 存在零向量：向量空间中存在一个特殊的向量0，它与任意向量u相加的结果等于u本身。
数学表达式：对于任意向量u，u + 0 = u。
- 存在逆元（负向量）：向量空间中的任意向量u都存在一个对应的逆元-u（负向量），使得u与-u相加的结果为零向量。
数学表达式：对于任意向量u，存在-u，使得u + (-u) = 0。
- 标量乘法的结合性：在向量空间中，任意标量k和l与向量u的乘积满足结合律。
数学表达式：(kl)u = k(lu)。
- 向量与标量的乘法分配律：在向量空间中，任意标量k与向量u、v的乘积再进行加法运算，等于先对向量进行加法运算再进行标量乘法运算的结果。
数学表达式：k(u + v) = ku + kv。
- 标量与向量的乘法分配律：在向量空间中，任意两个标量k和l与向量u的乘积再进行加法运算，等于先对标量进行加法运算再进行向量乘法运算的结果。
数学表达式：(k + l)u = ku + lu。
线性代数（向量空间）
基向量和标量： 基向量是构成向量空间的一组线性无关的向量，而标量是单一数值，用于表示大小、长度、角度等度量，不与方向关联。
基向量和标量
- 基向量：在向量空间中，基（basis）是一组线性无关的向量，它们可以生成（或称为“张成”）整个向量空间。这些构成基的向量就被称为基向量（basis vectors）。 例如， 一个人的年龄、身高或体重，有三个特征维度，可以将每个特征维度视为一个“基向量”。
- 标量： 标量（scalar）是只有大小、没有方向的量。 例如，一个人的年龄、身高或体重，都是可以用一个具体的数值来表示的，即标量。
- 线性组合：线性组合是线性代数中的一个基本概念，它指的是将一组向量分别乘以相应的标量系数，并将结果相加 （即缩放向量并相加 ） ，从而得到一个新的向量。
线性组合
线性独立和 线性相关： 线性独立和 线性相关是线性代数中的两个核心概念，它们描述了向量之间的特定关系。
线性独立
- 线性独立： 如果一组向量中的任何一个向量都不能表示为其他向量的线性组合，则这组向量被称为线性独立的。 基向量都是线性独立，N个基向量张成N维向量空间。
- 线性相关： 在线性代数中，如果一组向量中的任何一个向量都可以表示为其他向量的线性组合（即乘以标量并相加），则这组向量被称为线性相关的。
线性相关
注释
线性代数动画素材来源于3Blue1Brown，想了解更多查看参考资料网址。****
3Blue1Brown 是一个由 Grant Sanderson 创建的YouTube 频道。这个频道从独特的视觉角度解说高等数学，内容包括线性代数、微积分、人工神经网络、黎曼猜想、傅里叶变换以及四元数等。
Grant Sanderson 毕业于斯坦福大学，并获得了数学学士学位。
参考资料