线性代数（矩阵）
矩阵的定义 ： 矩阵是一个矩形数组，通常用于表示线性变换、线性方程组的系数、向量组等的集合。
矩阵的尺寸由其行数和列数决定，一个m×n的矩阵表示它有m行和n列。 矩阵中的每个数值被称为元素， 元素的位置由其所在的行和列决定，通常用下标表示。 例如，在矩阵A中，第i行第j列的元素可以表示为A[i][j] 。
线性代数（矩阵）
矩阵表示线性变换： 在线性代数中，矩阵经常被用来表示线性变换，即将一个向量空间中的元素（向量）映射到另一个向量空间中的元素（通常也是向量）。
在二维或三维空间中，线性变换可以直观地理解为 对向量进行旋转、缩放、反射或剪切等操作，但这些操作必须保持原点不变，并且保持网格线的平行性和等距性。
矩阵表示线性变换
矩阵运算的组合： “First rotation then shear”（先旋转后剪切），矩阵运算本质上是两个线性变换（旋转和剪切）的组合。在线性代数中，这种组合可以通过矩阵乘法来实现。即，首先应用旋转矩阵，然后应用剪切矩阵（或者先应用剪切矩阵再应用旋转矩阵，这取决于你想要的变换顺序）。
- 旋转变换：
旋转变换是线性变换的一种，它保持向量的长度和向量间的角度不变，只是将向量在空间中旋转一定的角度。在二维空间中，旋转变换可以通过一个2x2的旋转矩阵来实现。这个矩阵的构造方式确保了任何向量与这个矩阵相乘后，都会得到原向量旋转一定角度后的新向量。
- 剪切变换： 剪切变换（也称为错切变换）是另一种线性变换，它沿着一个坐标轴方向对另一个坐标轴方向上的坐标进行线性变换（即乘以一个常数加上另一个坐标的倍数），从而改变图形的形状。在二维空间中，这也可以通过一个2x2的矩阵来实现。
矩阵运算的组合
矩阵乘法 ： 矩阵乘法是两个矩阵通过特定规则进行运算，新矩阵的每个元素是原矩阵对应行与列元素乘积的和。
矩阵乘法的计算遵循以下步骤：
- 验证矩阵A的列数是否等于矩阵B的行数。如果不相等，则无法进行矩阵乘法。
- 创建一个新的矩阵C，其行数与矩阵A相同，列数与矩阵B相同。
- 对于矩阵C中的每个元素C[i][j]，计算它是矩阵A的第i行与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。即，C[i][j] = A[i][k1] * B[k1][j] + A[i][k2] * B[k2][j] + ... + A[i][kn] * B[kn][j]，其中k1, k2, ..., kn是矩阵A的列索引或矩阵B的行索引。
矩阵乘法
矩阵乘法公式的推导 ： 从线性变换的角度来看，如果 A 和 B 分别代表两个线性变换，那么 AB 就代表这两个线性变换的复合。
矩阵乘法公式推导
注释
线性代数动画素材来源于3Blue1Brown，想了解更多查看参考资料网址。****
3Blue1Brown 是一个由 Grant Sanderson 创建的YouTube 频道。这个频道从独特的视觉角度解说高等数学，内容包括线性代数、微积分、人工神经网络、黎曼猜想、傅里叶变换以及四元数等。
Grant Sanderson 毕业于斯坦福大学，并获得了数学学士学位。
参考资料