正态性检验：从Q-Q图到Shapiro-Wilk的全面解析数据是否呈现正态分布

背景

正态分布是统计学中的一种连续概率分布，也称为高斯分布，其概率密度函数呈钟形曲线，正态分布有以下几个重要特点：

• 均值（ ）为中心，数据在均值左右对称分布
• 标准差（ ）决定了分布的宽度，较小的标准差使分布更窄，较大的标准差使分布更宽
• 分布的总面积为1，即所有可能取值的概率之和为1

正态分布的概率密度函数可以表示为：

其中， 为均值， 是方差

数据呈正态分布作用

• 统计假设前提：许多统计方法（如t检验、ANOVA）要求数据正态分布，否则结果可能失效
• 模型性能：线性回归等模型在处理正态分布数据时表现更佳，解释性更强
• 特征处理：正态分布的数据更适合标准化和正则化，提升模型的稳定性和泛化能力
• 异常值检测：正态性检验有助于识别异常值，清理数据以减少干扰
• 算法表现：K-Means等算法对正态分布数据效果更好，深度学习也通过正态化加速收敛
• 树模型例外：决策树类算法对正态分布不敏感，但正态数据有助于更均衡的特征划分

正态性检验是数据分析和机器学习中的重要步骤，判断数据是否呈正态分布不仅可以帮助选择合适的算法和方法，还能提升模型的性能和可解释性，如果数据不符合正态分布，可以考虑通过数据变换（如对数变换、Box-Cox变换）来改善分布特征，参考文章——特征工程——数据转换

正态分布检验方法

正态分布检验用于判断给定的数据是否来自正态分布。常见的正态性检验方法包括：

图形法

• Q-Q图：将样本的分位数与正态分布的理论分位数进行比较。如果样本点大致沿直线分布，说明数据接近正态分布
• P-P图：将样本的累积分布函数（CDF）与理论分布的CDF进行比较
• 直方图：将数据的直方图与正态分布的理论密度曲线进行对比，看是否呈现钟形

统计检验法

• Shapiro-Wilk检验：一种广泛使用的正态性检验，假设数据来自正态分布，如果p值较小（通常小于0.05），则拒绝数据来自正态分布的假设
• Kolmogorov-Smirnov检验：用于比较样本的经验分布与理论正态分布，适合较大样本，但对均值和方差的敏感性较弱
• Anderson-Darling检验：对分布尾部有较高的灵敏度，是Shapiro-Wilk检验的加强版
• Jarque-Bera检验：基于样本的偏度和峰度，检验数据是否符合正态分布。适用于大样本
• D'Agostino's K-squared检验：基于偏度和峰度的综合检验方法，适合较大的样本

不同检验方法对数据的敏感度不同，选择时可以根据样本量和对正态性的严格要求程度来确定

代码实现

数据生成

          
import numpy as np
          
import pandas as pd
          
import matplotlib.pyplot as plt
          
plt.rcParams['font.family'] = 'Times New Roman'
          
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
          
np.random.seed(42)
          

          
# 生成一列正态分布数据，均值为0，标准差为1，数据量为1000
          
normal_data = np.random.normal(loc=0, scale=1, size=1000)
          
# 生成一列非正态分布数据（例如从均匀分布生成）
          
non_normal_data = np.random.uniform(low=-2, high=2, size=1000)
          

          
data = pd.DataFrame({
          
    'Normal_Distribution': normal_data,
          
    'Non_Normal_Distribution': non_normal_data
          
})
          
data
      

生成两列数据，一列为正态分布，另一列为非正态分布，接下来根据这些数据进行数据正态分布检验实现

Q-Q图

          
import scipy.stats as stats
          
# 创建Q-Q图函数
          
def plot_qq(data, title):
          
    stats.probplot(data, dist="norm", plot=plt)
          
    plt.title(title)
          
    plt.grid(True)
          
# 绘制两列数据的Q-Q图
          
plt.figure(figsize=(12, 6),dpi=1200)
          
plt.subplot(1, 2, 1)
          
plot_qq(data['Normal_Distribution'], 'Q-Q Plot of Normal Distribution')
          
plt.subplot(1, 2, 2)
          
plot_qq(data['Non_Normal_Distribution'], 'Q-Q Plot of Non-Normal Distribution')
          
plt.tight_layout()
          
plt.savefig("Q-Q.pdf", format='pdf',bbox_inches='tight')
          
plt.show()
      

左侧图是正态分布数据的Q-Q图，点大致沿着一条直线分布，说明这列数据接近正态分布，右侧图是非正态分布数据的Q-Q图，点偏离直线较明显，说明这列数据不符合正态分布

P-P图

          
# 创建P-P图函数
          
def plot_pp(data, title):
          
    sorted_data = np.sort(data)
          
    cdf = stats.norm.cdf(sorted_data, np.mean(sorted_data), np.std(sorted_data))
          
    plt.plot(cdf, np.linspace(0, 1, len(data)), marker='o', linestyle='', markersize=3)
          
    plt.plot([0, 1], [0, 1], 'r--')
          
    plt.title(title)
          
    plt.xlabel('Theoretical CDF')
          
    plt.ylabel('Empirical CDF')
          
    plt.grid(True)
          

          
# 绘制两列数据的P-P图
          
plt.figure(figsize=(12, 6),dpi=1200)
          

          
plt.subplot(1, 2, 1)
          
plot_pp(data['Normal_Distribution'], 'P-P Plot of Normal Distribution')
          

          
plt.subplot(1, 2, 2)
          
plot_pp(data['Non_Normal_Distribution'], 'P-P Plot of Non-Normal Distribution')
          
plt.tight_layout()
          
plt.savefig("P-P.pdf", format='pdf',bbox_inches='tight')
          
plt.show()
      

左侧是正态分布数据的P-P图，数据点与理论的CDF曲线大致符合，说明这列数据接近正态分布，右侧是非正态分布数据的P-P图，数据点明显偏离理论的CDF曲线，说明这列数据不符合正态分布

直方图

          
# 绘制直方图函数
          
def plot_hist(data, title):
          
    plt.hist(data, bins=30, density=True, alpha=0.6, color='g')
          
    # 绘制正态分布曲线
          
    mu, std = np.mean(data), np.std(data)
          
    xmin, xmax = plt.xlim()
          
    x = np.linspace(xmin, xmax, 100)
          
    p = stats.norm.pdf(x, mu, std)
          
    plt.plot(x, p, 'k', linewidth=2)
          
    plt.title(title)
          
    plt.grid(True)
          

          
# 绘制两列数据的直方图
          
plt.figure(figsize=(12, 6), dpi=1200)
          

          
plt.subplot(1, 2, 1)
          
plot_hist(data['Normal_Distribution'], 'Histogram of Normal Distribution')
          

          
plt.subplot(1, 2, 2)
          
plot_hist(data['Non_Normal_Distribution'], 'Histogram of Non-Normal Distribution')
          

          
plt.tight_layout()
          
plt.savefig("Histogram.pdf", format='pdf',bbox_inches='tight')
          
plt.show()
      

左侧是正态分布数据的直方图，其形状接近对称的钟形，并且与叠加的正态分布曲线高度吻合，说明数据符合正态分布，右侧是非正态分布数据的直方图，其形状较为平坦，未呈现正态分布的钟形曲线，说明数据不符合正态分布

Shapiro-Wilk检验

          
# 进行Shapiro-Wilk检验
          
shapiro_normal = stats.shapiro(data['Normal_Distribution'])
          
shapiro_non_normal = stats.shapiro(data['Non_Normal_Distribution'])
          

          
shapiro_results = {
          
    'Normal_Distribution': {
          
        'Statistic': shapiro_normal.statistic,
          
        'p-value': shapiro_normal.pvalue
          
    },
          
    'Non_Normal_Distribution': {
          
        'Statistic': shapiro_non_normal.statistic,
          
        'p-value': shapiro_non_normal.pvalue
          
    }
          
}
          

          
shapiro_results
      

正态分布数据：统计量为 0.9986，p 值为 0.6265，p 值大于 0.05，因此不能拒绝数据符合正态分布的假设，非正态分布数据：统计量为 0.9543，p 值非常小，p 值远小于 0.05，因此可以 拒绝数据符合正态分布的假设

Kolmogorov-Smirnov检验

          
# 进行Kolmogorov-Smirnov检验
          
ks_normal = stats.kstest(data['Normal_Distribution'], 'norm', args=(np.mean(data['Normal_Distribution']), np.std(data['Normal_Distribution'])))
          
ks_non_normal = stats.kstest(data['Non_Normal_Distribution'], 'norm', args=(np.mean(data['Non_Normal_Distribution']), np.std(data['Non_Normal_Distribution'])))
          

          
ks_results = {
          
    'Normal_Distribution': {
          
        'Statistic': ks_normal.statistic,
          
        'p-value': ks_normal.pvalue
          
    },
          
    'Non_Normal_Distribution': {
          
        'Statistic': ks_non_normal.statistic,
          
        'p-value': ks_non_normal.pvalue
          
    }
          
}
          
ks_results
      

正态分布数据：统计量为 0.0215，p 值为 0.7370，p 值大于 0.05，无法拒绝数据符合正态分布的假设，非正态分布数据：统计量为 0.0678，p 值为 0.00019，p 值远小于 0.05，因此可以拒绝数据符合正态分布的假设

Anderson-Darling检验

          
# 进行Anderson-Darling检验
          
ad_normal = stats.anderson(data['Normal_Distribution'], dist='norm')
          
ad_non_normal = stats.anderson(data['Non_Normal_Distribution'], dist='norm')
          

          
ad_results = {
          
    'Normal_Distribution': {
          
        'Statistic': ad_normal.statistic,
          
        'Critical_Values': ad_normal.critical_values,
          
        'Significance_Level': ad_normal.significance_level
          
    },
          
    'Non_Normal_Distribution': {
          
        'Statistic': ad_non_normal.statistic,
          
        'Critical_Values': ad_non_normal.critical_values,
          
        'Significance_Level': ad_non_normal.significance_level
          
    }
          
}
          
ad_results
      

正态分布数据：统计量为 0.347，低于所有的临界值（0.574, 0.653, 0.784, 0.914, 1.088），因此我们不能拒绝数据符合正态分布的假设，非正态分布数据：统计量为 11.326，远高于所有的临界值，因此可以拒绝数据符合正态分布的假设

Jarque-Bera检验

          
# 进行Jarque-Bera检验
          
jb_normal = stats.jarque_bera(data['Normal_Distribution'])
          
jb_non_normal = stats.jarque_bera(data['Non_Normal_Distribution'])
          

          
jb_results = {
          
    'Normal_Distribution': {
          
        'Statistic': jb_normal.statistic,
          
        'p-value': jb_normal.pvalue
          
    },
          
    'Non_Normal_Distribution': {
          
        'Statistic': jb_non_normal.statistic,
          
        'p-value': jb_non_normal.pvalue
          
    }
          
}
          
jb_results
      

正态分布数据：统计量为 2.456，p 值为 0.2928，p 值大于 0.05，无法拒绝数据符合正态分布的假设，非正态分布数据：统计量为 59.919，p 值非常小，可以拒绝数据符合正态分布的假设

D'Agostino's K-squared检验

          
# 进行D'Agostino's K-squared检验
          
dagostino_normal = stats.normaltest(data['Normal_Distribution'])
          
dagostino_non_normal = stats.normaltest(data['Non_Normal_Distribution'])
          

          
dagostino_results = {
          
    'Normal_Distribution': {
          
        'Statistic': dagostino_normal.statistic,
          
        'p-value': dagostino_normal.pvalue
          
    },
          
    'Non_Normal_Distribution': {
          
        'Statistic': dagostino_non_normal.statistic,
          
        'p-value': dagostino_non_normal.pvalue
          
    }
          
}
          

          
dagostino_results
      

正态分布数据：统计量为 2.576，p 值为 0.2759，p 值大于 0.05，无法拒绝数据符合正态分布的假设，非正态分布数据：统计量为 710.37，p 值极小，可以拒绝数据符合正态分布的假设

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