贝叶斯优化在电商推荐系统中优化用户购买转化率 - 文章 - 开发者社区

一、原理

贝叶斯优化的核心在于利用先验知识构建目标函数的概率模型，然后通过不断地采集新的样本点来更新这个模型，以找到目标函数的最优值。其基本步骤如下：

选择一个先验概率分布来描述目标函数。通常情况下，选择高斯过程（Gaussian Process）作为先验分布，因为它具有良好的数学性质和灵活性。
根据先验分布，在参数空间中选择一些初始的采样点，并评估目标函数在这些点上的值。
使用已有的采样点和目标函数值，通过贝叶斯定理更新目标函数的后验分布。这个后验分布反映了我们对目标函数的当前知识。
基于后验分布，选择一个采集函数来决定下一个采样点。采集函数的目的是平衡探索未知区域和利用已知有希望的区域。常见的采集函数有预期改进（Expected Improvement）、概率提升（Probability of Improvement）和置信上限（Upper Confidence Bound）等。
重复步骤 3 和 4，直到满足停止条件，例如达到最大迭代次数或目标函数值的变化小于某个阈值。

二、贝叶斯优化公式

假设目标函数服从高斯过程分布，即，其中是均值函数，通常设为常数或线性函数；是协方差函数，常用的协方差函数有平方指数协方差函数（Squared Exponential Covariance Function）等。
对于给定的一组采样点和对应的目标函数值，后验分布可以通过贝叶斯定理计算得到：

其中，是似然函数，表示在给定目标函数值和采样点的情况下，观察到目标函数值的概率；是先验分布；是归一化常数。 3. 采集函数通常用于选择下一个采样点。以预期改进（Expected Improvement）为例，其公式为：

其中，是当前已知的最佳目标函数值，表示期望。预期改进表示在新的采样点处，目标函数值相对于当前最佳值的预期改进量。

三、 贝叶斯优化电商推荐系统中用户购买转化率案例

某电商平台希望通过优化推荐算法的超参数来提高用户的购买转化率。推荐算法采用基于深度学习的协同过滤模型，有多个超参数需要调整，如学习率、正则化系数、隐藏层神经元数量等。

step1：确定目标函数

将用户购买转化率作为目标函数，即对于给定的一组超参数，通过在历史数据上进行模型训练和评估，得到对应的用户购买转化率。

step2：选择先验分布和采集函数

选择高斯过程作为目标函数的先验分布。假设均值函数为常数，协方差函数采用平方指数协方差函数。
选择预期改进（Expected Improvement）作为采集函数，以平衡探索和利用。

step3：初始化采样点和评估目标函数值

随机选择一些初始的超参数组合作为采样点，并在历史数据上评估这些超参数组合对应的用户购买转化率。

step4：更新后验分布和选择下一个采样点

使用已有的采样点和目标函数值，通过贝叶斯定理更新目标函数的后验分布。
根据后验分布和采集函数，选择下一个超参数组合作为采样点。

step5：重复步骤四直到满足停止条件

不断重复步骤四，直到达到最大迭代次数或目标函数值的变化小于某个阈值。

step6：分析结果和应用最优超参数

分析贝叶斯优化过程中得到的超参数组合和对应的用户购买转化率，了解不同超参数对目标函数的影响。
将最优的超参数组合应用到实际的推荐系统中，观察用户购买转化率的提升情况。

代码实操分析


        
          
import numpy as np  
from sklearn.gaussian_process import GaussianProcessRegressor  
from sklearn.gaussian_process.kernels import ConstantKernel, Matern  
from scipy.stats import norm  
  
# 定义目标函数（模拟用户购买转化率）  
def objective\_function(params):  
    learning_rate, regularization_coef, hidden_neurons = params  
    # 这里只是一个简单的模拟，实际应用中需要用真实的推荐算法和数据进行评估  
    return -((learning_rate - 0.01)**2 + (regularization_coef - 0.1)**2 + (hidden_neurons - 100)**2)  
  
# 定义采集函数（预期改进）  
def expected\_improvement(X, X\_sample, Y\_sample, gpr, xi=0.01):  
    mu, sigma = gpr.predict(X, return_std=True)  
    mu_sample = gpr.predict(X_sample)  
    best = np.min(mu_sample)  
    with np.errstate(divide='warn'):  
        imp = mu - best - xi  
        Z = imp / sigma  
        ei = imp * norm.cdf(Z) + sigma * norm.pdf(Z)  
    ei[sigma == 0.0] = 0.0  
    return ei  
  
# 贝叶斯优化过程  
def bayesian\_optimization(n\_iter, bounds):  
    X_sample = np.array([[bounds[0][0] + (bounds[1][0] - bounds[0][0]) * np.random.rand(),  
                          bounds[0][1] + (bounds[1][1] - bounds[0][1]) * np.random.rand(),  
                          bounds[0][2] + (bounds[1][2] - bounds[0][2]) * np.random.rand()]])  
    Y_sample = np.array([objective_function(X_sample[0])])  
    kernel = ConstantKernel(1.0, (1e-3, 1e3)) * Matern(length_scale=1.0, nu=2.5)  
    gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, alpha=1e-6, n_restarts_optimizer=10)  
    for i in range(n_iter):  
        X = np.random.uniform(bounds[0], bounds[1], size=(100, len(bounds[0])))  
        ei = expected_improvement(X, X_sample, Y_sample, gpr)  
        next_x = X[np.argmax(ei)]  
        next_y = objective_function(next_x)  
        X_sample = np.vstack((X_sample, next_x))  
        Y_sample = np.append(Y_sample, next_y)  
        gpr.fit(X_sample, Y_sample)  
    return X_sample, Y_sample  
  
n_iter = 50  
bounds = [[0.001, 0.01, 50], [0.1, 0.5, 200]]  
X_sample, Y_sample = bayesian_optimization(n_iter, bounds)  
  
# 输出最优超参数和对应的目标函数值  
best_index = np.argmin(Y_sample)  
best_params = X_sample[best_index]  
best_value = Y_sample[best_index]  
print(f"最优超参数：学习率={best\_params[0]}, 正则化系数={best\_params[1]}, 隐藏层神经元数量={best\_params[2]}")  
print(f"对应的用户购买转化率（模拟）：{best\_value}")

数据分析

可以使用以下方式对贝叶斯优化过程进行分析：

绘制目标函数的等高线图，展示不同超参数组合下的用户购买转化率。
绘制贝叶斯优化过程中采样点的分布和目标函数值的变化情况，以直观地了解优化过程。

假设目标函数是二维的：


        
          
import matplotlib.pyplot as plt  
  
# 假设目标函数是二维的  
def objective\_function\_2d(x):  
    return -((x[0] - 0.5)**2 + (x[1] - 0.5)**2)  
  
# 贝叶斯优化过程（二维版本）  
def bayesian\_optimization\_2d(n\_iter, bounds):  
    X_sample = np.array([[bounds[0][0] + (bounds[1][0] - bounds[0][0]) * np.random.rand(),  
                          bounds[0][1] + (bounds[1][1] - bounds[0][1]) * np.random.rand()]])  
    Y_sample = np.array([objective_function_2d(X_sample[0])])  
    kernel = ConstantKernel(1.0, (1e-3, 1e3)) * Matern(length_scale=1.0, nu=2.5)  
    gpr = GaussianProcessRegressor(kernel=kernel, alpha=1e-6, n_restarts_optimizer=10)  
    for i in range(n_iter):  
        X = np.random.uniform(bounds[0], bounds[1], size=(100, len(bounds[0])))  
        ei = expected_improvement(X, X_sample, Y_sample, gpr)  
        next_x = X[np.argmax(ei)]  
        next_y = objective_function_2d(next_x)  
        X_sample = np.vstack((X_sample, next_x))  
        Y_sample = np.append(Y_sample, next_y)  
        gpr.fit(X_sample, Y_sample)  
    return X_sample, Y_sample  
  
n_iter = 20  
bounds = [[0, 0], [1, 1]]  
X_sample, Y_sample = bayesian_optimization_2d(n_iter, bounds)  
  
# 绘制目标函数的等高线图  
x = np.linspace(bounds[0][0], bounds[1][0], 100)  
y = np.linspace(bounds[0][1], bounds[1][1], 100)  
X, Y = np.meshgrid(x, y)  
Z = np.array([objective_function_2d([i, j]) for i in x for j in y]).reshape(len(x), len(y))  
plt.contour(X, Y, Z, levels=20)  
  
# 绘制采样点  
plt.scatter(X_sample[:, 0], X_sample[:, 1], c='r', marker='x')  
  
plt.xlabel('参数 1')  
plt.ylabel('参数 2')  
plt.title('贝叶斯优化过程可视化（二维目标函数）')  
plt.show()

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可以看出贝叶斯优化在电商推荐系统中超参数优化方面具有很大的潜力。它可以自动地找到最优的超参数组合，提高推荐系统的性能，从而提升用户体验和增加销售额。

作者介绍：数分36计OpenDogs

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