解析大模型中的Scaling Law

写在前面

大家好，我是刘聪NLP。

今天给大家带来一篇《解析大模型中的Scaling Law》，来自知乎@nghuyong

          
知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/p/667489780  

      

在大模型的研发中，通常会有下面一些需求：

• 计划训练一个10B的模型，想知道至少需要多大的数据？
• 收集到了1T的数据，想知道能训练一个多大的模型？
• 老板准备1个月后开发布会，能用的资源是100张A100，那应该用多少数据训一个多大模型最终效果最好？
• 老板对现在10B的模型不满意，想知道扩大到100B模型的效果能提升到多少？

以上这些问题都可以基于Scaling Law的理论进行回答。本文是阅读了一系列caling Law的文章后的整理和思考，包括Scaling Law的概念和推导以及反Scaling Law的场景，不当之处，欢迎指正。

核心结论

大模型的Scaling Law是OpenAI在2020年提出的概念[1]，具体如下:

1. 对于Decoder-only的模型，计算量(Flops), 模型参数量, 数据大小(token数)，三者满足: 。(推导见本文最后)
2. 模型的最终性能**「主要与」** 计算量，模型参数量和数据大小三者相关，而与模型的具体结构(层数/深度/宽度)基本无关。

固定模型的总参数量，调整层数/深度/宽度，不同模型的性能差距很小，大部分在2%以内

3. 对于计算量，模型参数量和数据大小，当不受其他两个因素制约时，模型性能与每个因素都呈现**「幂律关系」**

basic

4. 为了提升模型性能，模型参数量和数据大小需要同步放大，但模型和数据分别放大的比例还存在争议。
5. Scaling Law不仅适用于语言模型，还适用于其他模态以及跨模态的任务[4]：

multi_modal

这里横轴单位为PF-days: 如果每秒钟可进行次运算，就是1 peta flops，那么一天的运算就是，这个算力消耗被称为1个petaflop/s-day。

核心公式

• 第一项是指无法通过增加模型规模来减少的损失，可以认为是数据自身的熵（例如数据中的噪音）
• 第二项是指能通过增加计算量来减少的损失，可以认为是模型拟合的分布与实际分布之间的差。

根据公式，增大(例如计算量)，模型整体loss下降，模型性能提升；伴随趋向于无穷大，模型能完美拟合数据的真实分布，让第二项逼近0，整体趋向于

大模型中的Scaling Law

GPT4

下图是GPT4报告[5]中的Scaling Law曲线，计算量和模型性能满足幂律关系

• 横轴是归一化之后的计算量，假设GPT4的计算量为1。基于10,000倍小的计算规模，就能预测最终GPT4的性能。
• 纵轴是"Bits for words", 这也是交叉熵的一个单位。在计算交叉熵时，如果使用以 2 为底的对数，交叉熵的单位就是 "bits per word"，与信息论中的比特（bit）概念相符。所以这个值越低，说明模型的性能越好。

Baichuan2

下图是Baichuan2[6]技术报告中的Scaling Law曲线。基于10M到3B的模型在1T数据上训练的性能，可预测出最后7B模型和13B模型在2.6T数据上的性能

MindLLM

下图是MindLLM[7]技术报告中的Scaling Law曲线。基于10M到500M的模型在10B数据上训练的性能，预测出最后3B模型在500B数据上的性能。

Scaling Law实操: 计算效率最优

根据幂律定律，模型的参数固定，无限堆数据并不能无限提升模型的性能，模型最终性能会慢慢趋向一个固定的值。

如图所示，如果模型的参数量为（图中紫色的线），在数量达到，模型基本收敛。所以在数据量达到后，继续增加数据产生的计算量，没有同样计算量下提升模型参数量带来的收益大（「计算效率更优」 ）。根据，可以进一步转换成模型参数与计算量的关系，即: 模型参数为，在计算量为 Flops，即 PF-days时基本收敛。也就是右图中紫色线的拐点。

按照上面的思路，下面进行Scaling Law的实操

首先准备充足的数据（例如1T），设计不同模型参数量的小模型(例如0.001B - 1B)，独立训练每个模型，每个模型都训练到基本收敛（假设数据量充足）。根据训练中不同模型的参数和数据量的组合，收集计算量与模型性能的关系。然后可以进一步获得**「计算效率最优」** 时，即同样计算量下性能最好的模型规模和数据大小的组合，模型大小与计算量的关系，以及数据大小与计算量的关系。

如图所示，根据左图可以看到计算量与模型性能呈现幂律关系（可以认为数据和模型都不受限制），根据中图和右图，可以发现，即计算效率最优时，模型的参数与计算量的幂次成线性关系，数据量的大小也与计算量的幂次成线性关系。

根据，可以推算出，但是分别是多少存在分歧。

OpenAI[1]认为模型规模更重要，即，而DeepMind在Chinchilla工作[2]和Google在PaLM工作[3]中都验证了，即模型和数据同等重要。

所以假定计算量整体放大10倍，OpenAI认为模型参数更重要，模型应放大 (5.32)倍，数据放大 (1.86)倍；后来DeepMind和Google认为模型参数量与数据同等重要，两者都应该分别放大 (3.16)倍。

例如在PaLM的实验中，计算量从放大10倍到， 模型参数提升了3.2倍，3.35B->10.7B。

具体最好在自己的数据上做实验来获得你场景下的和。

LLaMA: 反Scaling Law的大模型

假设我们遵循**「计算效率最优」** 来研发LLM，那么根据Scaling Law，给定模型大小，可以推算出最优的计算量，进一步根据最优计算量就能推算出需要的token数量，然后训练就行。

但是**「计算效率最优」** 这个观点是针对**「训练阶段」** 而言的，并不是**「推理阶段」** 。

Meta在LLaMA[8]的观点是：给定一个模型的目标性能，并不需要用最优的计算效率在**「最快」** 时间训练好模型，而应该在更大规模的数据上，训练一个相对**「更小」** 模型，这样的模型在推理阶段的成本更低，尽管训练阶段的效率不是最优的（同样的算力其实能获得更优的模型，但是模型尺寸也会更大）。所以尽管根据Scaling Law，10B模型只需要200B的数据，但是作者发现7B的模型性能在1T的数据后还能继续提升。

所以LLaMA工作的重点是训练一系列语言模型，通过使用更多的数据，让模型在**「有限推理资源下有最佳的性能」** 。

具体而言，确定模型尺寸后，Scaling Law给到的只是最优的数据供给，或者说是一个**「至少」** 的数据量，实际上观察在各个指标上的性能表现，只要还在继续增长，就可以持续增加训练数据。

计算量、模型和数据大小的关系推导

对于Decoder-only的模型，计算量(Flops), 模型参数量(除去Embedding部分), 数据大小(token数), 三者的关系为:

推导如下，记模型的结构为:

• decoder层数:
• attention 隐层维度:
• attention feedforward层维度: ， 一般来说

首先推导模型的参数量（忽略embedding，norm和bias）计算如下:

transformer每层包括: self-attetion 和 MLP 两个部分:

• self-attention的参数为，每个矩阵的维度均为，整体参数量:
• MLP的层数的参数为，整体参数量:

所以每层的参数量为: ，全部的层的参数量为: ，即

继续推导模型的前向推理的计算量:

计算量的单位是FLOPs，floating point operations, 对于矩阵，相乘的计算量为，一次加法一次乘法。

假设Decoder层的输入, 为batch size，为序列长度, 为模型维度。

• self-attention部分的计算:

• 输入线性层: ，计算量为:
• atention计算: ，计算量为:
• socre与V的计算: ，计算量为:
• 输出线性层: ，计算量为:

• MLP部分的计算

• 升维: ，计算量为:
• 降维: ，计算量为:

所以整个decoder层的计算量为:，全部层为:

反向传播计算量是正向的2倍，所以全部的计算量为:

平均每个token的计算量为 ()

所以对于全部包含个token的数据集:

写在最后

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参考资料

• [1] Scaling Laws for Neural Language Models: https://arxiv.org/abs/2001.08361
• [2] Training Compute-Optimal Large Language Models: https://arxiv.org/abs/2203.15556
• [3] PaLM: https://arxiv.org/abs/2305.10403
• [4] Scaling Laws for Autoregressive Generative Modeling: https://arxiv.org/abs/2010.14701
• [5] GPT-4: https://arxiv.org/abs/2303.08774
• [6] Baichuan 2: https://arxiv.org/abs/2309.10305
• [7] MindLLM: https://arxiv.org/abs/2310.15777
• [8] LLaMA: https://arxiv.org/abs/2302.13971
• [9] 人工智能中的算力单位Petaflop/s-day: https://zhuanlan.zhihu.com/p/106406433
• [10] https://www.zhihu.com/question/629230332/answer/3278779348
• [11] 介绍一些Scaling Laws: https://zhuanlan.zhihu.com/p/631357320
• [12] 分析transformer模型的参数量、计算量、中间激活、KV cache: https://zhuanlan.zhihu.com/p/624740065